2020年湖北成人教育高等学校专升本全国统一考试数学(1)
来源:湖北学历教育网 发表时间:2020-09-28 08:44:27 浏览:349次
一、古典概型及其概率计算 【例1】 袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型? (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型? 方法提炼 1.判断一个概率问题是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型. 2.求古典概型的概率时,一般是先用列举法把试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再找出所求事件A所包含的基本事件的个数,利用公式P(A)=m/n即可求得事件A的概率. 解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球的大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个基本事件,分别记为A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到红球”.又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为1/11,而白球有5个,故一次摸球摸中白球的可能性为5/11;同理可知摸中黑球、红球的可能性均为3/11;显然这三个基本事件出现的可能性不相等,所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 二、古典概型的应用 【例2】甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况; (2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜,你认为此游戏是否公平,说明你的理由. 方法提炼 列举法可以使我们明确基本事件的构成情况,该法适用于基本事件的个数较少的情况.列举时要按规律分类列举,以避免重复或遗漏的情况出现. 【例2】 解:(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示,红桃2,红桃3,红桃4分别用2,3,4表示)为(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2 ),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4),共12种不同情况. (2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2或4或4′,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为2/3. (3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),5种,甲胜的概率为P1=5/12,乙胜的概率为P2=7/12, 由5/12<7/12,知此游 戏不公平.
概率主观题的规范解答 【典例】 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率; (2)向袋中再放入一张 标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. 规范解答:(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A,B,C,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D,E,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种.(3分) 由于每一张卡片被取到的机会均等,因 此这些基本事件的出现是等可能的. 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A,D),(A,E),(B,D),共3种.(5分) 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3/10 (6分) (2)记F为标号为0的绿色卡片,从六张卡 片中任取两张的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.(8分) 由于每一张卡片被取到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能的.(9分) 从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8种.(11分) 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8/15 (12分) 答题指导:事件A的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.回答好这三个方面的问题,解题才不会出错.
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【练手题】 1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的 可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ). A.1/3 B.1/2 C.2/3 D.3/4 2.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ). A.1/10 B.1/8 C.1/6 D.1/5 3.若a∈{1,2},b∈{-2,-1,0,1,2},方程x^2+ax+b=0的两根均为实数的概率为( ). A.3/5 B.7/10 C.1/4 D.3/8 4.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ). A.1/5 B.2/5 C. 3/5 D.4/5 5.已知实数a,b∈{-2,-1,1,2}. (1)求直线y=ax+b不经过第四象限的概率; (2)求直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率.
练手题答案: 1.A 解析:由题意得,甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3=9种,又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3,故概率为3/9=1/3. 2.D 解析:在正六边形中,6个顶点选取4个,种数为15.选取的4点能构成矩形的,只有对边的4个顶点(例如AB与DE),共有3种,
故概率为3/15=1/5. 3.B 解析:若方程有两实根,则a^2-4b≥0,即a^2≥4b.则满足条件的基本事件(a,b)有:(1,0),(2,-1),(2,0),(1,-1),(1,-2),(2,-2),(2,1)共有7种情况,而基本事件总数为10,∴所求概率为7/10 4.B 解析:记1个红球为A,2个白球为B1,B2,3个黑球为C1,C2,C3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω={(A,B1),(A,B2),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)},共计15种,而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(B2,C1),(B2,C2),(B2,C3),所以所求概率为6/15=2/5. 5.解:由于实数对(a,b)的所有取值为(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),共16种. 设“直线y=ax+b不经过第四象限”为事件A,“直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点”为事件B. (1)若直线y=ax+b不经过第四象限,则必须满足即满足条件的实数对(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2 ,2),共4种. 则P(A)=4/16=1/4.故直线y=ax +b不经过第四象限的概率为1/4 (2)若直线y=ax+b与圆x^2+y^2=1有公共点,则必须满足,即b^2≤a^2+1.
若a=-2,则b=-2,-1,1,2符合要求,此时实数对(a,b)有4种不同取值;若a=-1,则b=-1,1符合要求,此时实数对(a,b)有2种不同取值; 若a=1,则b=-1,1符合要求,此时实数对(a,b)有2种不同取值;若a=2,则b=-2,-1,1,2符合要求,此时实数对(a,b)有4种不同取值. 则满足条件的实数对(a,b)共有12种不同取值.故P(B)=12/16=3/4, 即直线y=ax+b与圆x^2+y^2=1有公共点的概率为3/4 |
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