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    2020年湖北成人教育高等学校专升本全国统一考试数学(1)

    来源:湖北学历教育网 发表时间:2020-09-28 浏览:

    一、古典概型及其概率计算

    【例1  袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.

    (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?

    (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?

    方法提炼

    1.判断一个概率问题是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型.

    2.求古典概型的概率时,一般是先用列举法把试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再找出所求事件A所包含的基本事件的个数,利用公式P(A)m/n即可求得事件A的概率.

    解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球的大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.

    (2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个基本事件,分别记为A摸到白球B摸到黑球C摸到红球”.又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为1/11,而白球有5个,故一次摸球摸中白球的可能性为5/11;同理可知摸中黑球、红球的可能性均为3/11;显然这三个基本事件出现的可能性不相等,所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.

    二、古典概型的应用

    【例2甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.

    (1)(ij)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况;

    (2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少?

    (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜,你认为此游戏是否公平,说明你的理由.

    方法提炼

    列举法可以使我们明确基本事件的构成情况,该法适用于基本事件的个数较少的情况.列举时要按规律分类列举,以避免重复或遗漏的情况出现.

    【例2  解:(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片44表示,红桃2,红桃3,红桃4分别用2,3,4表示)(2,3)(2,4)(2,4)(3,2)(3,4)(3,4)(4,2 本地图片,请重新上传)(4,3)(4,4)(42)(43)(44),共12种不同情况.

    (2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是244,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为2/3.

    (3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)(4,2)(4,3)(42)(43),5种,甲胜的概率为P15/12,乙胜的概率为P27/12

    5/127/12,知此游 本地图片,请重新上传戏不公平.

     

    概率主观题的规范解答

    【典例】 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.

    (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;

    (2)向袋中再放入一张 本地图片,请重新上传标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

    规范解答:(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为ABC,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为DE,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为:(AB)(AC)(AD)(AE)(BC)(BD)(BE)(CD)(CE)(DE),共10种.(3)

    由于每一张卡片被取到的机会均等,因 本地图片,请重新上传此这些基本事件的出现是等可能的.

    从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(AD)(AE)(BD),共3种.(5)

    所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3/10  (6)

    (2)F为标号为0的绿色卡片,从六张卡 本地图片,请重新上传片中任取两张的所有可能的结果为:(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)(EF),共15种.(8)

    由于每一张卡片被取到的机会均等,

    因此这些基本事件的出现是等可能的.(9)

    从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为:(AD)(AE)(BD)(AF)(BF)(CF)(DF)(EF),共8种.(11)

    所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8/15  (12)

    答题指导:事件A的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.回答好这三个方面的问题,解题才不会出错.


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    【练手题】

    1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的 本地图片,请重新上传可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(  )

    A.1/3         B.1/2        C.2/3         D.3/4

    2.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(  )

    A.1/10        B.1/8        C.1/6         D.1/5

    3.若a{1,2}b{2,-1,0,1,2},方程x^2axb0的两根均为实数的概率为(  )

    A.3/5         B.7/10      C.1/4         D.3/8

    4.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于(  )

    A.1/5         B.2/5       C. 3/5         D.4/5

    5.已知实数ab{2,-1,1,2}

    (1)求直线yaxb不经过第四象限的概率;

    (2)求直线yaxb与圆x2y21有公共点的概率.

     

    练手题答案:

    1A 解析:由题意得,甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×39种,又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3,故概率为3/91/3.

    2D 解析:在正六边形中,6个顶点选取4个,种数为15.选取的4点能构成矩形的,只有对边的4个顶点(例如ABDE),共有3种,

    图片

    故概率为3/151/5.

    3B 解析:若方程有两实根,则a^24b0,即a^24b.则满足条件的基本事件(ab)有:(1,0)(2,-1)(2,0)(1,-1)(1,-2)(2,-2)(2,1)共有7种情况,而基本事件总数为10所求概率为7/10

    4B 解析:1个红球为A,2个白球为B1B2,3个黑球为C1C2C3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω{(AB1)(AB2)(AC1)(AC2)(AC3)(B1B2)(B1C1)(B1C2)(B1C3)(B2C1)(B2C2)(B2C3)(C1C2)(C1C3)(C2C3)},共计15种,而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B1C1)(B1C2)(B1C3)(B2C1)(B2C2)(B2C3),所以所求概率为6/152/5.

    5解:由于实数对(ab)的所有取值为(2,-2)(2,-1)(2,1)(2,2)(1,-2)(1,-1)(1,1)(1,2)(1,-2)(1,-1)(1,1)(1,2)(2,-2)(2,-1)(2,1)(2,2),共16种.

    直线yaxb不经过第四象限为事件A直线yaxb与圆x2y21有公共点为事件B.

    (1)若直线yaxb不经过第四象限,则必须满足图片即满足条件的实数对(ab)(1,1)(1,2)(2,1)(2 本地图片,请重新上传,2),共4种.

    P(A)4/161/4.故直线yax 本地图片,请重新上传b不经过第四象限的概率为1/4

    (2)若直线yaxb与圆x^2y^21有公共点,则必须满足图片,即b^2a^21.

     

    a=-2,则b=-2,-1,1,2符合要求,此时实数对(ab)4种不同取值;若a=-1,则b=-1,1符合要求,此时实数对(ab)2种不同取值; 本地图片,请重新上传a1,则b=-1,1符合要求,此时实数对(ab)2种不同取值;若a2,则b=-2,-1,1,2符合要求,此时实数对(ab)4种不同取值.

    则满足条件的实数对(ab)共有12种不同取值.故P(B)12/163/4

    即直线yaxb与圆x^2y^21有公共点的概率为3/4